SOBRE ALGUMAS SOMAS DE EULER

Hermes Antonio PEDROSO[1]

§    RESUMO: O objetivo deste trabalho é discutir resultados obtidos pela primeira vez por Euler em 1736 sobre as somas das séries do tipo, k Î Z+. Em primeiro lugar, fazemos um resumo das atividades científicas do século XVIII, bem como a vida e obra de Euler. A seguir, apresentamos o curioso procedimento de Euler para encontrar as somas de , k Î Z+.. Finalmente mostramos como encontrar as mesmas somas, de forma rigorosa, por séries de Fourier, por Integrais Simples e Duplas e por Séries de Potências. Deixamos, ainda, aos interessados, alguns resultados sobre o assunto e um desafio: desde os tempos de Euler, com todas as técnicas modernas, pouco se sabe sobre as somas de séries de tipo, k Î Z+.. Assim , por exemplo, só em 1978 é que o matemático francês R. Apéry mostrou que a soma de é um número irracional, e nada mais se sabe sobre este número. Sobre a soma de , não se sabe nem se é irracional ou racional. Assim, de forma surpreendente, atinge-se a fronteira do conhecimento nestas questões.

§    PALAVRAS-CHAVE: Somas de Euler; séries de Fourier; integrais; séries de potências.

 

 



[1] Departamento de Matemática - Instituto de Biociências , Letras e Ciências Exatas - UNESP - São José do Rio Preto - SP - Brasil.